问道线性代数的题,设f(x1,x2,x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)(b1x1+b2x2+b3x3)为非零二次型,当a1b1+a2b2+a3b3=0,二次型的正惯性指数为（ ）,负惯性指数为（ ）

Question

问道线性代数的题,
设f(x1,x2,x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)(b1x1+b2x2+b3x3)为非零二次型,当a1b1+a2b2+a3b3=0,二次型的正惯性指数为（ ）,负惯性指数为（ ）

Answer 1

正惯性指数为（ 1 ）,负惯性指数为（ 1 ）
详解:
f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)(a1,a2,a3)^T(b1,b2,b3)(x1,x2,x3)^T
所以二次型的矩阵 A= (a1,a2,a3)^T(b1,b2,b3) , 其秩r(A)<=1. 所以其行列式 |A|=0, 故A有一个特征值为零.
又因为 0 = a1b1+a2b2+a3b3 = tr(A) = A的3个特征值的和, 所以A的另外两个特征值必为一正一负 (由于f 是非零二次型,A的特征值不能全为零).