设向量B可以由向量组a1、a2...am线性表示,但不可以由向量组a1、a2...a(m-1)线性表示,证明a1、a2...am与a1、a2...a(m-1),B有相同的秩

Question

设向量B可以由向量组a1、a2...am线性表示,但不可以由向量组a1、a2...a(m-1)线性表示,
证明a1、a2...am与a1、a2...a(m-1),B有相同的秩

Answer 1

证明：证明秩相等就是要证明极大无关组里头的向量个数相等.不妨设向量组
a1、a2...a(m-1)
极大无关组的个数为s.那么我说a(m)一定是不可以由这个向量组线性表示的,这是因为,如果可以的话,那么由于B可以表示为a1、a2...am,即存在不全为零的实数 b1,b2,..,bm,以及不全为零的实数c1,c2,...,c(m-1),使得
B = sum (i从1到m) a(i)bi = sum (i从1到m-1) a(i)bi + a(m)bm
= sum (i从1到m-1) a(i)bi + bm * [sum ( j 从1到m-1) a(j)cj ],这就等于是说B可以由向量a1、a2...a(m-1)表示了,矛盾.
于是,向量组a1、a2...am极大无关组的个数就是s+1（多了am）,而向量组
a1、a2...a(m-1),B的极大无关组也是 s+1,因为题设已知条件说了,B不可以由剩下的表示出来.所以秩相等.