求教一个数学合情推理的问题通过计算可得下列等式2^2-1^2=2*1+13^2-2^2=2*2+14^2-3^2=2*3+1.(n+1)^2-n^2=2*n+1将以上各式分别相加得：(n+1)^2-1^2=2*(1+2+3+.+n)+n;即1+2+3+.+n=n(n+1)/2.类比上述求法：请你求出1^2+2^2+

Question

求教一个数学合情推理的问题
通过计算可得下列等式
2^2-1^2=2*1+1
3^2-2^2=2*2+1
4^2-3^2=2*3+1
.
(n+1)^2-n^2=2*n+1
将以上各式分别相加得：(n+1)^2-1^2=2*(1+2+3+.+n)+n;即1+2+3+.+n=n(n+1)/2.类比上述求法：请你求出1^2+2^2+3^2+.n^2的值.

Answer 1

2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
4^3-3^3=3*3^2+3*3+1
.
(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1
将以上各式分别相加得：(n+1)^3-1^3=3*(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3*(1+2+3+.+n)+n
n^3+3*n^2+3*n+1-1-n-3n(n+1)/2=3*(1^2+2^2+3^2+.+n^2)
化简得
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n^3/3+n^2/2+n/6
=n(n+1)(2n+1)/6