小王参加2012年度某项劳动技能考试．考试按科目A，B依次进行，只有科目A合格后才能继续参加科目B的考试．每个科目本年度只有一次补考机会，只有两个科目都合格才能获得该项劳动

Question

小王参加2012年度某项劳动技能考试．考试按科目A，B依次进行，只有科目A合格后才能继续参加科目B的考试．每个科目本年度只有一次补考机会，只有两个科目都合格才能获得该项劳动技能合格证．已知他每次参加科目A考试合格的概率均为 (1)/(2) ，每次参加科目B考试合格的概率均为 (2)/(3) ，且各次考试是否合格互不影响．
（1）求小王不用补考就顺利获得2012年度该项劳动技能合格证的概率；
（2）记小王参加2012年度该项劳动技能考试的次数为ξ（含可能的补考次数），求随机变量ξ的分布列．

Answer 1

（1）设小王参加科目A考试合格与补考合格分别为事件A ₁ ，A ₂ ，参加科目B考试合格与补考合格分别为事件B ₁ ，B ₂ ．
由已知， P( A 1 )=P( A 2 )=(1)/(2) ， P( B 1 )=P( B 2 )=(2)/(3) ．…（2分）
又A ₁ ，B ₁ 相互独立，所以P（“小王不用补考就顺利获得2012年度该项劳动技能合格证”）=P（A ₁ B ₁ ）= P( A 1 )P( B 1 )=(1)/(2) ×(2)/(3) =(1)/(3) ．…（5分）
故小王不用补考就顺利获得2012年度该项劳动技能合格证的概率为 (1)/(3) ．…（6分）
（2）随机变量ξ的可能取值为2，3，4．…（7分）
则 P(ξ=2)=P( A 1 B 1 +

.

A

1

.

A

2 )=P( A 1 )P( B 1 )+P(

.

A

1 )P(

.

A

2 )=(1)/(2) ×(2)/(3) +(1)/(2) ×(1)/(2) =(7)/(12) ，…（8分）

P(ξ=3)=P(

.

A

1 A 2 B 1 + A 1

.

B

1 B 2 + A 1

.

B

1

.

B

2 )=P(

.

A

1 )P( A 2 )P( B 1 )+P( A 1 )P(

.

B

1 )P( B 2 )

+P( A 1 )P(

.

B

1 )P(

.

B

2 )=(1)/(2) ×(1)/(2) ×(2)/(3) +(1)/(2) ×(1)/(3) ×(2)/(3) +(1)/(2) ×(1)/(3) ×(1)/(3) =(1)/(3) …(10分)

P(ξ=4)=P(

.

A

1 A 2

.

B

1 )=P(

.

A

1 )P( A 2 )P(

.

B

1 )=(1)/(2) ×(1)/(2) ×(1)/(3) =(1)/(12) …（11分）
所以随机变量ξ的分布列为：

ξ	2	3	4
P	(7)/(12)	(1)/(3)	(1)/(12)

…（12分）