非负整数集和负整数集那个比较大注意不可以一一映射,因为一个有0一个没0

Question

非负整数集和负整数集那个比较大
注意不可以一一映射,因为一个有0一个没0

Answer 1

回答这个问题首先应该明确一个概念：两个集合的大小如何定义?
对于有限集合,我们可以通过数其中的元素个数来定义集合大小,对于无限集合我们就不能这么做了.
有两种可能的解决办法：
1.通过包含关系：即如果集合A包含集合B,那么集合A比集合B大.
2.通过一一对应：即如果能够找到方法在集合A和集合B的元素之间建立一一对应的关系,则认为这两个集合的元素一样多,如果不能,则可以比出大小.
应该用哪个呢?
解决方法一显然有一个严重的缺陷：不是所有的集合之间都能比较大小,如果两个集合没有包含关系,他们的大小就不能比较了.另外从审美的角度,显然我们希望无限集的比较大小规则是有限集规则的平滑拓展,因此办法一不是我们要的.
解决方法二是比较好的,也是数学中正式使用的无限集比较大小规则.由这个规则我们可以知道非负整数集和负整数集之间的关系一样大.因为它们之间可以建立一一对应,只需要把非负整数集的n对应到负整数集的n-1就可以了.即0对-1,-1对-2,……
由这里我们可以发现,无限集的大小和我们的直观想象不同,一个无限集可能和其子集建立一一对应,从而和其子集一样大.