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重庆潼南某一蔬菜种植基地种植的一种蔬菜,它的成本是每千克2元,售价是每千克3元,年销量为10(万千克).多吃绿色蔬菜有利于身体健康,因而绿色蔬菜倍受欢迎,十分畅销.为了获得

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重庆潼南某一蔬菜种植基地种植的一种蔬菜,它的成本是每千克2元,售价是每千克3元,年销量为10(万千克).多吃绿色蔬菜有利于身体健康,因而绿色蔬菜倍受欢迎,十分畅销.为了获得更好的销量,保证人民的身体健康,基地准备拿出一定的资金作绿色开发,根据经验,若每年投入绿色开发的资金X(万元),该种蔬菜的年销量将是原年销量的m倍,它们的关系如下表:
x(万元) 0 1 2 3 4
m 1 1.5 1.8 1.9 1.8
(1)试估计并验证m与x之间的函数类型并求该函数的表达式;
(2)若把利润看着是销售总额减去成本费和绿色开发的投入资金,试求年利润W(万元)与绿色开发投入的资金x(万元)的函数关系式;并求投入的资金不低于3万元,又不超过5万元时,x取多少时,年利润最大,求出最大利润.
(3)基地经调查:若增加种植人员的奖金,从而提高种植积极性,又可使销量增加,且增加的销量y(万千克)与增加种植人员的奖金z(万元)之间满足y=-z2+4z,若基地将投入5万元用于绿色开发和提高种植人员的奖金,应怎样分配这笔资金才能使年利润达到17万元且绿色开发投入大于奖金?
2
=1.4.
▼优质解答
答案和解析
(1)根据不是一次函数(不是线性的),也不是反比例函数(m*x的值不是常数),所以选择二次函数,
设m与x的函数关系式为m=ax2+bx+c,
由题意得:
c=1
a+b+c=1.5
4a+2b+c=1.8

解得:
a=−0.1
b=0.6
c=1

∴m与x的函数关系式为:m=-0.1x2+0.6x+1;

(2)∵利润=销售总额减去成本费和绿色开发的投入资金,
∴W=(3-2)×10m-x=-x2+5x+10;
当x=-
b
2a
=2.5时,W最大,
∵由于投入的资金不低于 3 万元,又不超过 5 万元,所以3≤x≤5,
而a=-1<0,抛物线开口向下,且取值范围在顶点右侧,W随x的增大而减小,故最大值在x=3处,
∴当x=3时,W最大为:16万元;

(3)设用于绿色开发的资金为m万元,则用于提高奖金的资金为(5-m)万元,
将m代入(2)中的W=-x2+5x+10,故W=-m2+5m+10;
将(5-m)代入y=-z2+4z,故y=-(5-m)2+4(5-m)=-m2+6m-5,
由于单位利润为1,所以由增加奖金而增加的利润就是-m2+6m-5;
所以总利润W'=(-m2+5m+10)+(-m2+6m-5)-(5-m)=-2m2+12m,
因为要使年利润达到17万,所以-2m2+12m=17,
整理得2m2-12m+17=0,
解得:m=
6+
2
2
≈3.7或m=
6−
2
2
≈2.3,而绿色开发投入要大于奖金,
所以m=3.7,5-m=1.3.
所以用于绿色开发的资金为3.7万元,奖金为1.3万元.