椭圆内求矩形最大面积那个公式为什么是4XY?

Question

椭圆内求矩形最大面积那个公式为什么是4XY?

Answer 1

用导数求很麻烦的……设椭圆为x²/a²+y²/b²=1在椭圆Ⅰ象限部分取一点P(x,y),x＞0,y＞0,则内接矩形的面积S=4xy由椭圆方程得到y=b√(1-x²/a²)带入,得到S=4bx√(1-x²/a²)两边对x求导：dS/dx=4b(√(a²-x²)-x²/√(a²-x²))/a令dS/dx=0,解得x=√2a/2则Smax=2ab其实用参数方程是最简单的……设椭圆的方程为x=asint,y=bcost在椭圆上取一个点P(x,y)(x＞0,y＞0),则内接矩形的面积S=4xy=2absin2t由于sin2t∈[-1,1]∴Smax=2ab