一道很基础的广义积分收敛填空题若广义积分∫(1,0)[1/(x^p)]dx收敛,则必有p.其中的∫(1,0),1在上面,0在下面,问p的条件范围.我看过书,完全糊里糊涂,请用最通俗和简单的方法来说明一下

Question

一道很基础的广义积分收敛填空题
若广义积分∫(1,0) [1/(x^p)]dx收敛,则必有p______.
【其中的∫(1,0),1在上面,0在下面】,问p的条件范围.
我看过书,完全糊里糊涂,请用最通俗和简单的方法来说明一下如何去做这道题,

Answer 1

0＜p＜1.直接由广义积分的定义来做.
∫ [1/(x^p)]dx=lnx x=1
=x^(1-p+1)/(1-p)
当0＜p＜1时,∫(1,0) [1/(x^p)]dx=x^(1-p)/(1-p)（1,0）=1/（1-p）
当p=1时,∫(1,0) [1/(x^p)]dx=lnx （1,0）=∞
当p＞1时,∫(1,0) [1/(x^p)]dx=x^(1-p)/(1-p)（1,0）=∞
所以当0＜p＜1时,广义积分∫(1,0) [1/(x^p)]dx收敛；当p≥1时,广义积分∫(1,0) [1/(x^p)]dx发散.