有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是12，棋盘上标有第0站，第1站，…，第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向

Question

有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是(1)/(2)，棋盘上标有第0站，第1站，…，第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从n到n+1），若掷出反面，棋子向前跳两站（从n到n+2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营），或跳到第100站（失败集中营）时该游戏结束，设棋子跳到第n站的概率为P（n）；
（1）求P（1），P（2）；
（2）求证：数列{P（n）-P（n-1）}是等比数列（n∈N^﹡，n≤99）；
（3）求P（99）及P（100）的值．

Answer 1

（1）根据题意，棋子跳到第n站的概率为P（n），
则P（1）即棋子跳到第一站，有一种情况，即掷出正面，故P（1）=(1)/(2)，
则P（2）即棋子跳到第2站，有2种情况，即两次掷出正面或一次掷出反面，则P（2）=(1)/(2)×(1)/(2)+(1)/(2)=(3)/(4)，
（2）根据题意，棋子要到第n站，有两种情况，（2≤n≤99）
①由第（n-1）站跳到，即第（n-1）站时掷出正面，其概率为(1)/(2)P（n-1），
②由第（n-2）站跳到，即第（n-2）站时掷出反面，其概率为(1)/(2)P（n-2），
则P（n）=(1)/(2)P（n-1）+(1)/(2)P（n-2），
进而可得P（n）-P（n-1）=-(1)/(2)[P（n-1）-P（n-2）]，（2≤n≤99，n∈N），
故数列{P（n）-P（n-1）}是等比数列，
（3）由（1）可得，P（2）-P（1）=(1)/(4)，
由（2）可得，{P（n）-P（n-1）}是公比为-(1)/(2)的等比数列，
进而可得：P（n）=[P（n）-P（n-1）]+[P（n）-P（n-1）]+[P（n-1）-P（n-2）]+…+[P（2）-P（1）]+P（1）
=(1)/(6)[1-（-(1)/(2)）ⁿ]+(1)/(2)，
故P（99）=(1)/(3)[2-（(1)/(2)）⁹⁹]；
P（100）=(1)/(3)[2-（(1)/(2)）¹⁰¹]．