已知公差不为0的等差数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且数列{Snan}是等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设lgbn=an3n（n∈N*），问：b1，bk，bm（k，m均为正整数，且1<k<m）能否成等

Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项为1，前n项和为S_n，且数列{(Sn)/(an)}是等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设lgb_n=(an)/(3n)（n∈N^*），问：b₁，b_k，b_m（k，m均为正整数，且1<k<m）能否成等比数列？若能，求出所有的k和m的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
因为a₁=1，所以a₂=1+d，a₃=1+2d，从而S₂=2+d，
S₃=3+3d，因为数列{(Sn)/(an)}是等差数列，
所以2×(S2)/(a2)=(S1)/(a1)+(S3)/(a3)，即(2(2+d))/(1+d)=1+(3+3d)/(1+2d)，
化简得d²-d=0，而d≠0，所以d=1；
故a_n=a₁+（n-1）d=n；
（2）假设存在正整数组k和m，使b₁、b_k、b_m成等比数列，
则lgb₁，lgb_k，lgb_m成等差数列，
于是(2k)/(3k)=(1)/(3)+(m)/(3m)，
所以m=3^m（(2k)/(3k)-(1)/(3)）…（*）；
易知k=2，m=3满足（*）；
因为k≥3，且k∈N^*时，(2(k+1))/(3k+1)-(2k)/(3k)=(2-4k)/(3k+1)<0；
数列{(2k)/(3k)}（k≥3，k∈N）为递减数列，
于是(2k)/(3k)-(1)/(3)≤(2×3)/(33)-(1)/(3)<0，
所以，当k≥3时，不存在正整数k和m满足（*）；
综上，当且仅当k=2，m=3时，b₁，b_k，b_m成等比数列．