在第一封卦限内作球面xx+yy+zz=1的切平面,使得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小.求切点的坐标.

Question

在第一封卦限内作球面xx+yy+zz=1的切平面,使得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小.求切点的坐标.

Answer 1

设切点为(x0,y0,c0)
则x^2+y^2+z^2=1在(x0,y0,z0)的法向量就是(x0,y0,z0) （从球心(0,0,0)指向(x0,y0,z0)的半径方向）
所以切平面为x0(x-x0)+y0(y-y0)+z0(z-z0)=0
设切平面在三坐标轴的截距为a,b,c
令y0=z0=0得：x0(a-x0)+y0(0-y0)+z0(0-z0)=0
解得a=(x0^2+y0^2+z0^2)/x0=1/x0
同理可证b=1/y0
c=1/z0
而V=(1/2ab)c*1/3=1/6abc
于是V=1/(6*x0*y0*z0),于是问题变成了V=1/(6xyz)在x^2+y^2+z^2=1的条件极值
构造拉格朗日函数F(x,y,z)=1/(6xyz)-λ(x^2+y^2+z^2-1)
对λ的偏导为0：x^2+y^2+z^2-1=0
对x的偏导为0：lnx/(6yz)-2λx=0,即λ=lnx/(12xyz)
同理可得：λ=lnx/(12xyz)=lny/(12xyz)=lnz/(12xyz)
即lnx=lny=lnz,也就是x=y=z,又x^2+y^2+z^2-1=0,x>0,y>0,z>0（第一卦限）
得到x=y=z=√3/3
即切点(x0,y0,z0)取(√3/3,√3/3,√3/3)体积有最小值