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如何将(1/x)*[ln(1+x)/(1-x)]做泰勒展开,要最后的结果
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如何将(1/x)*[ln(1+x)/(1-x)]做泰勒展开,要最后的结果
▼优质解答
答案和解析
记f(x)=ln(1+x)/(1-x)=ln(1+x)-ln(1-x)
则f'(x)=1/(1+x)+1/(1-x)=2/(1-x^2)=2[1+x^2+x^4+...]
故f(x)-f(0)=∫[0,x]f'(x)dx=2∫[0,x][1+x^2+x^4+...]dx=2(x+x^3/3+x^5/5+...)
而f(0)=0, 故f(x)=2(x+x^3/3+x^5/5+...)
从而(1/x)*[ln(1+x)/(1-x)]=(1/x)f(x)=2(1+x^2/3+x^4/5+...), 0
则f'(x)=1/(1+x)+1/(1-x)=2/(1-x^2)=2[1+x^2+x^4+...]
故f(x)-f(0)=∫[0,x]f'(x)dx=2∫[0,x][1+x^2+x^4+...]dx=2(x+x^3/3+x^5/5+...)
而f(0)=0, 故f(x)=2(x+x^3/3+x^5/5+...)
从而(1/x)*[ln(1+x)/(1-x)]=(1/x)f(x)=2(1+x^2/3+x^4/5+...), 0
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