急!一道数学题用拉格朗日乘子法（methodoflagrangemultipliers)算出曲线3x^2-4xy+6y^2=140上距离原点(0,0)最近的以及最远的点最好能有步骤,谢谢.增么没人理我？

Question

急!一道数学题
用拉格朗日乘子法（method of lagrange multipliers)算出曲线
3x^2-4xy+6y^2=140
上距离原点(0,0)最近的以及最远的点
最好能有步骤,谢谢.
增么没人理我？

Answer 1

高中生,曾看过一些这方面的东西,学的很浅,解的不知道对不对:
算距离,不妨算函数z=x^2+y^2的最值.
设z=x^2+y^2+λ(3x^2-4xy+6y^2-140)
对x,y分别求偏导,并令之为0,得:
2x+6λx-4λy=0
2y+12λy-4λx=0
3x^2-4xy+6y^2=140
前两个方程由λ=λ可以得到
8x^2-24xy=8y^2-12xy
与第三个联立,可解得{想了半天没解出来,用电脑算的}:
x=-2√14,y=-√14
x=2√14,y=√14
x=-2,y=4
x=2,y=-4
前两个带进去是最远,后俩是最近.
最远距离√70,最近距离2√5
这个题我觉得可以先判断一下二次曲线的种类.它是一个以原点为中心的椭圆.这样算出它的长短轴问题就解决了.