已知数列｛an}的前n项和为Sn,常数入>0,且入a1an=S1+Sn对一切正整数n都成立.求数列{an}的通项公式设a1>0,入=100.当n为何值时,数列{lg(1/an)}的前n项和最大?

Question

已知数列｛an}的前n项和为Sn,常数入>0,且入a1an=S1+Sn对一切正整数n都成立.
求数列{an}的通项公式设a1>0,入=100.当n为何值时,数列{lg(1/an)}的前n项和最大?

Answer 1

由题设：
令n=1得：λa1a1=S1+S1=2a1 则a1=0或a1=2/λ
若a1=0,则Sn=0,从而an=0
若a1=2/λ,由已知：λa1a(n+1)=S1+S(n+1)
两式相减得：λa1[a(n+1)-an]=S(n+1)-Sn=a(n+1) 
即2[a(n+1)-an]=a(n+1)
所以a(n+1)=2an 说明{an}是以2/λ为首项,以2为公比的等比数列
此时,an=(2^n)/λ
a1>0,λ=100,由1知：an=(2^n)/100
则lg(1/an)=lg100-lg(2^n)=lg100-nlg2
lg2>0,所以lg(1/an)为关于n的单调减函数
故当前n项全部为非负数的时候前n项和最大
当n=6时,2^6<100,lg(1/an)>0,当n=7时,2^7>100,lg(1/an)<0
所以当n=6时,前n项和最大