2011大连中考最后一题最后一问：如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点,对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交

Question

2011大连中考最后一题最后一问：如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点
如图,抛物线y=ax 2 +bx+c经过A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点,对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面积相等,若存在,求点Q的坐标；若不存在,说明理由； （3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R,使△RPM与△RMB的面积相等?若存在,直接写出点R的坐标；若不存在,说明理由．第二问不用了,

Answer 1

答案：（1）设抛物线的解析式为：y=ax 2 +bx+c（a≠0）, ∵抛物线经过点A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）, ∴,解得 ∴二次函数式为y=-x 2 +2x+3； （2）由y=-x 2 +2x+3=-（x-1） 2 +4, 则顶点P（1,4）,对称轴是：x=1． 由B,C两点坐标可知,直线BC解析式为y=-x+3,点M点坐标为（1,2） 设过点P与直线BC平行的直线为：y=-x+b, 将点P（1,4）代入,得y=-x+5, 将y=-x+5代入抛物线y=-x 2 +2x+3中, -x 2 +2x+3=-x+5,解得x=1或x=2, 代入y=-x+5,则得点Q（1,4）或（2,3）, 点Q（1,4）与P重合, ∴点Q（2,3）, 设PM与x轴交点为P′,而M（1,2）, ∴PM=MP′=2, 设过P′（1,0）且与BC平行的直线为y=-x+c, 将P′代入,得y=-x+1, ,解得x=或x= ∴Q（2,3）或（,）或（,）； （3）要使△RPM与△RMB的面积相等,则点P到MR的距离等于点B到MR的距离． 由点M（1,2）,P（1,4）, PM=P’M可知：点R存在,即过点M平行于x轴的直线:y=2, 代入抛物线y=-x 2 +2x+3中得：x=或x=（在对称轴的左侧,舍去）, ∴点R（,2）．
求采纳