高等函数求解隧道的截面是矩形加上半圆(矩形的上底边与半圆的直径重合),其周长是15米,问矩形的底为多少时截面面积最大?数学考试应用题

Question

高等函数求解
隧道的截面是矩形加上半圆(矩形的上底边与半圆的直径重合),其周长是15米,问矩形的底为多少时截面面积最大 ?
数学考试应用题

Answer 1

设底边为x米
则半圆周长为 15π/2米
矩形另一边长为 (15-15π/2 - x)/2 米
所以总面积为 半圆面积+矩形面积 = (15-15π/2 - x)/2 * x + π*x^2 /8
= (π/8 - 1/2) x^2 + (15/2 - 15π/4)x
对上式求导,为 (π/4 -1 )x + (15/2 - 15π/4) 当它等于0 时,截面面积最大.
此时x = (15/2 - 15π/4) / (π/4 -1 )
= (15π - 30) / (4-π)