两函数乘积的极限为零,那么各自的极限一定有个为零吗为何

Question

两函数乘积的极限为零,那么各自的极限一定有个为零吗 为何

Answer 1

两函数乘积的极限为零,那么各自的极限不一定有一个为零.
例如： 狄利克雷函数 D(x) =1, 当x为有理数； D(x) =0,当x为无理数.
设 f(x) = D(x),
g(x) = 0, 当x为有理数； g(x) = 1,当x为无理数.
则 F(x) = f(x) * g(x) ≡ 0, F(x)在任意点的极限都是0,
但是 f(x) 及g(x) 在任一点处都无极限.