把一个棱长为整数的长方体的表面都涂上红色，然后切割成棱长为1的小立方体．其中，两面有红色的小立方块有40块，一面有红色的小立方块有66块，那么这个长方体的体积是多少？

Question

把一个棱长为整数的长方体的表面都涂上红色，然后切割成棱长为1的小立方体．其中，两面有红色的小立方块有40块，一面有红色的小立方块有66块，那么这个长方体的体积是多少？

Answer 1

设长方体的长宽高上分别有两面有红色的小立方体x、y、z块，根据题意可得
x+y+z=40÷4=10，①
xy+xz+yz=66÷2=33，②
由①和②可得，x²+y²+z²=10²-2×33=34，③
并且x、y、z≤5，
由②可得，（x+y）（x+z）=x²+33，④
若x=1，（1+y）（1+z）=1²+33=2×17=1×34，那么x和y是：2-1=1，17-1=16，或1-1=0，34-1=33，都不合x、y、z≤5，舍去；
同理，若x=2，（2+y）（2+z）=2²+33=1×37，那么x和y是：1-2=-1，37-2=35，不合x、y、z≤5，舍去；
若x=3，（3+y）（3+z）=3²+33=42=6×7=3×14=1×42=×21，显然，3×14和1×42都不合要求，那么x和y是：6-3=3，7-3=4，符合x、y、z≤5；
若x=4，（4+y）（4+z）=4²+33=49=7×7，那么x和y是：7-4=3，7-4=3，符合x、y、z≤5；并且和上一种情况是同一种情况，
若x=5，（5+y）（5+z）=5²+33=58=1×58，显然，那么x和y是：1-5=-4，58-5=54，不符合x、y、z≤5；
所以，长方体的长、宽、高是：4+2=6，3+2=5，3+2=5，
所以，体积是：6×5×5=150；
答：这个长方体的体积是150．