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把一个棱长为整数的长方体的表面都涂上红色,然后切割成棱长为1的小立方体.其中,两面有红色的小立方块有40块,一面有红色的小立方块有66块,那么这个长方体的体积是多少?
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把一个棱长为整数的长方体的表面都涂上红色,然后切割成棱长为1的小立方体.其中,两面有红色的小立方块有40块,一面有红色的小立方块有66块,那么这个长方体的体积是多少?
▼优质解答
答案和解析
设长方体的长宽高上分别有两面有红色的小立方体x、y、z块,根据题意可得
x+y+z=40÷4=10,①
xy+xz+yz=66÷2=33,②
由①和②可得,x2+y2+z2=102-2×33=34,③
并且x、y、z≤5,
由②可得,(x+y)(x+z)=x2+33,④
若x=1,(1+y)(1+z)=12+33=2×17=1×34,那么x和y是:2-1=1,17-1=16,或1-1=0,34-1=33,都不合x、y、z≤5,舍去;
同理,若x=2,(2+y)(2+z)=22+33=1×37,那么x和y是:1-2=-1,37-2=35,不合x、y、z≤5,舍去;
若x=3,(3+y)(3+z)=32+33=42=6×7=3×14=1×42=×21,显然,3×14和1×42都不合要求,那么x和y是:6-3=3,7-3=4,符合x、y、z≤5;
若x=4,(4+y)(4+z)=42+33=49=7×7,那么x和y是:7-4=3,7-4=3,符合x、y、z≤5;并且和上一种情况是同一种情况,
若x=5,(5+y)(5+z)=52+33=58=1×58,显然,那么x和y是:1-5=-4,58-5=54,不符合x、y、z≤5;
所以,长方体的长、宽、高是:4+2=6,3+2=5,3+2=5,
所以,体积是:6×5×5=150;
答:这个长方体的体积是150.
x+y+z=40÷4=10,①
xy+xz+yz=66÷2=33,②
由①和②可得,x2+y2+z2=102-2×33=34,③
并且x、y、z≤5,
由②可得,(x+y)(x+z)=x2+33,④
若x=1,(1+y)(1+z)=12+33=2×17=1×34,那么x和y是:2-1=1,17-1=16,或1-1=0,34-1=33,都不合x、y、z≤5,舍去;
同理,若x=2,(2+y)(2+z)=22+33=1×37,那么x和y是:1-2=-1,37-2=35,不合x、y、z≤5,舍去;
若x=3,(3+y)(3+z)=32+33=42=6×7=3×14=1×42=×21,显然,3×14和1×42都不合要求,那么x和y是:6-3=3,7-3=4,符合x、y、z≤5;
若x=4,(4+y)(4+z)=42+33=49=7×7,那么x和y是:7-4=3,7-4=3,符合x、y、z≤5;并且和上一种情况是同一种情况,
若x=5,(5+y)(5+z)=52+33=58=1×58,显然,那么x和y是:1-5=-4,58-5=54,不符合x、y、z≤5;
所以,长方体的长、宽、高是:4+2=6,3+2=5,3+2=5,
所以,体积是:6×5×5=150;
答:这个长方体的体积是150.
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