（2011•浦东新区模拟）定义：sgn(x)＝1，x＞00，x＝0−1，x＜0，若已知函数f(x)＝ax−sgn(x)a|x|（a＞0且a≠1）满足f（1）=32．（1）解不等式：f（x）≤2；（2）若f（2t）+mf（t）+4≥0对于任意正实

Question

（2011•浦东新区模拟）定义：sgn(x)＝

1，x＞0

0，x＝0

−1，x＜0

，若已知函数f(x)＝ax−(sgn(x))/(a|x|)（a＞0且a≠1）满足f（1）=(3)/(2)．
（1）解不等式：f（x）≤2；
（2）若f（2t）+mf（t）+4≥0对于任意正实数t恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由题意，f（1）=a-(1)/(a)=(3)/(2)，∴a=2或-(1)/(2)（舍），…（1分）
当x＞0时，f（x）=2x−(1)/(2x)≤2，∴0＜x≤log2(1+√(2))；…（3分）
当x=0时，f（0）=2⁰-(0)/(20)=1≤2，∴x=0，…（4分）
当x＜0时，f（x）=2^x-(−1)/(2−x)=2^x+1≤2，∴x≤0，
因为x＜0，所以x＜0，…（6分）
综上所述，不等式的解集为（-∞，log2(1+√(2))]．…（7分）
（2）因为t＞0，所以f（t）=2^t-(1)/(2t)，f（2t）=2^2t-(1)/(22t)，
∴f（2t）+mf（t）+4=2^2t-(1)/(22t)+m（2^t-(1)/(2t)）+4≥0恒成立，…（8分）
令u=2^t-(1)/(2t)（t＞0）∈[0，+∞），…（9分）
则2^2t-(1)/(22t)+m（2^t-(1)/(2t)）+4=u²+2+mu+4=u²+mu+6≥0恒成立，
∴m≥-（u+(6)/(u)）（u∈[0，+∞））恒成立，
∴m≥[-（u+(6)/(u)）]_max（u∈[0，+∞）），…（11分）
∵[-