如图所示，足够大的荧光屏ON垂直xOy坐标面，与x轴夹角为30°，当y轴与ON间有沿+y方向、场强为E的匀强电场时，一质量为m、电荷量为-q的离子从y轴上的P点，以速度v0、沿+x轴方向射入电场，恰

Question

如图所示，足够大的荧光屏ON垂直xOy坐标面，与x轴夹角为30°，当y轴与ON间有沿+y方向、场强为E的匀强电场时，一质量为m、电荷量为-q的离子从y轴上的P点，以速度v₀、沿+x轴方向射入电场，恰好垂直打到荧光屏上的M点（图中未标出）．现撤去电场，在y轴与ON间加上垂直坐标面向里的匀强磁场，相同的离子仍以速度v₀从y轴上的Q点沿+x轴方向射入磁场，恰好也垂直打到荧光屏上的M点，离子的重力不计．求：

（1）求B的大小；
（2）若相同的离子分别从y轴上的不同位置以速度v=ky（y>0，k为常数）、沿+x轴方向射入磁场，离子都能打到荧光屏上，k应满足的条件．

Answer 1

（1）离子在电场中做类平抛运动，运动轨迹如图所示：

离子打在M点时竖直方向的分速度为v_y，运动时间为t，
tan60°=(vy)/(v0)，v_y=at=(qE)/(m)t，x=v₀t，解得：x=(√(3)mv20)/(qE)，
离子在磁场中做匀速圆周运动，轨道半径：R=OM=(x)/(sin60°)，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv₀B=m(v20)/(R)，解得：B=(E)/(2v0)；
（2）离子运动轨迹如图所示：

设从纵坐标为y处射入磁场的离子恰好能打到荧光屏上，对应的轨道半径为r₀，
由几何知识可知：r₀+(r0)/(cos30°)=y，
此离子进入磁场时的速度：v=ky，设离子的轨道半径为r，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB=m(v2)/(r)，
为使离子能打到荧光屏上，应满足：r≥r₀，
而qv₀B=ma，解得：k≥((2√(3)-3)qE)/(2mv0)；
答：（1）B的大小为(E)/(2v0)；
（2）k应满足的条件是：k≥((2√(3)-3)qE)/(2mv0)．