一元三次方程的简易分解?

Question

一元三次方程的简易分解?

Answer 1

貌似没有直接的方法,对于一般的一元三次方程而言只能通过求解方能得到分解式.一种经典的求解方法如下：
首先把一般形式ax³+bx²+cx+d=0转换为y³+py+q=0的形式,其中y=x+[b/(3a)]
然后设y=m+n,其中M=m³,N=n³,即m和n是某个数的三次方根那么有：
M+3m²n+3mn²+N+p(m+n)+q=0
整理得：(m+n)(p+3mn)+(q+M+N)=0
显然令p=-3mn且q=-(M+N)上式就恒成立
即此时MN=-p³/27,M+N=-q.又根据一元二次方程根与系数的关系知M和N就是如下一元二次方程的两个根：
z²+qz-(p³/27)=0
求解此方程得到M和N的值,在对M和N开三次方组合得到y值（注意开三次方会有三个方根,所以得到的y值会有三个解）
相应的判别式为：Δ=q²+4(p/3)³,为方便记忆取Δ=(p/3)³+(q/2)²,当：
Δ>0时,M、N为两个不等实数,y值对应一个实数和两个共轭复数；
Δ=0时,M、N为两个相等实数,y值对应三个实数,其中两个相等；
Δ