如何解这样的微分方程2xydy=(2*y^2-x)dx?不要直接的方程,要具体的步骤

Question

如何解这样的微分方程2xydy=(2*y^2-x)dx?
不要直接的方程,要具体的步骤

Answer 1

(x-2y^2)dx+2xydy=0
M=x-2y^2
N=2xy
M_y=-4y
N_x=2y
(M_y-N_x)/N=-6y/2xy=-3/x
假设有关于x的积分因子u
(Mu)_y=(Nu)_x
M_y*u=N_xu+Nu_x
du/dx=[(M_y-N_x)/N]u=(-3/x)u
du/u=(-3/x)dx
ln |u|=-3ln|x|
u=x^(-3)
等式两边同乘u=x^(-3)
(1/x^2-2y^2/x^3)dx+(2y/x^2)dy=0
M_y=-4y/x^3
N_x=-4y/x^3
相等,左边是全微分
假设左边是F(x,y)的全微分
F_x=M=1/x^2-2y^2/x^3
F_y=N=2y/x^2
从第二式开始
F(x,y)=y^2/x^2+h(x)
带入第一式
F_x=-2y^2/x^3+h'(x)=1/x^2-2y^2/x^3
h'(x)=1/x^2
h(x)=-1/x
所以
F(x,y)=y^2/x^2-1/x
原方程等价于
d(F(x,y))=0
F(x,y)=C
y^2/x^2-1/x=C
即为所求