1.如图,圆O1与圆O2内切与点P,圆O2的弦AB与圆O1相切于点Q,PQ连线与圆O2相交于R,连接BR 求证：①弧AR=弧BR ②BR²=PR·QR（2000年全国联赛）2.已知 如图 四边形ABCD是圆O的内接四边形 BA、CD的延长线

Question

1.如图,圆O1与圆O2内切与点P,圆O2的弦AB与圆O1相切于点Q,PQ连线与圆O2相交于R,连接BR 求证：①弧AR=弧BR ②BR²=PR·QR（2000年全国联赛）
2.已知 如图 四边形ABCD是圆O的内接四边形 BA、CD的延长线相交于点E,EF‖AD,交CB的延长线于点F,FG切圆O于G ①求证△FBE∽△FEC ②EF=FG ③若∠CEF=90° 且EC：EF=2：3 求COS∠AED

Answer 1

第一题
①
连结O1Q,O2R,AR ,PO2根据内切圆定理P,O1,O2在一条直线上
∵O1P＝O1Q,O2P＝O2R
∴PO1/PO2＝QO1/RO2
∴QO1‖RO2
∵AB切O1于Q
∴AB⊥QO1
∴AB⊥RO2
∴弧AR=弧BR 垂径定理
②
连结BP,BR可得
∠RBA＝∠RAB＝∠BPB
∴△BRP∽△QBR
∴△BR／QB＝RP／BR
∴BR²=PR·QR
第2题
①
∵EF‖AD
∴∠CEF=∠EDA
∵∠B+∠ADC=∠EDA+∠ADC=180度
∴∠B=∠EDA=∠CEF
∴△FBE∽△FEC
②
由①得FE/FC=FB/FE
∴FE²=FB·FC
连结GB,GC
∵∠CGF=∠CBG
∴△FCG∽△FGB
∴FG/FB=FC/FG
∴FG²=FB·FC
∴EF=FG
③
在RT△CEF中,EF=3,CE=2
∴CF=√13 （根号13）
∴sin∠ECF=3/√13
∴cos∠AED=sin∠EAD=sin∠ECF=3√13/13 (13分之3倍根号13)