向量题目，会的来已知向量a=（sinX,1）,b=（cosX,-½）,当向量a⊥b时，求X的取值集合，求函数f（X）=a.（b-a）的单调递增区间a,b均有→

Question

向量题目，会的来已知向量a=（sin X , 1）,b =（cos X , -½）, 当向量a ⊥b 时，求X 的取值集合，求函数f（X）=a . （b -a）的单调递增区间 a,b均有→

Answer 1

向量a = (sinx，1)，b = (cosx，-1/2)，当a⊥b时，a·b = 0 => sinxcosx – 1/2 = 0 => (1/2)2sinxcosx = 1/2 => (1/2)sin2x = 1/2 => sin2x = 1 => 2x = 2kπ + π/2，k∈Z，所以x的取值范围是 {x|x = kπ + π/4 ， k ∈ Z } ； 函数f(x) = a(b - a) = (sinx，1)·(cosx – sinx，-3/2) = sinxcosx – sin 2 x –3/2 = (1/2)sin2x – (1/2)(1 – cos2x) – 3/2 = (1/2)sin2x + (1/2)cos2x – 2 = (√2/2)sin(2x + π/4) – 2，在(2x + π/4)∈[2kπ –π/2，2kπ + π/2]，即x∈ [kπ - 3π/8 ， kπ + π/8] ， k ∈ Z 上单调递增；在(2x + π/4)∈[2kπ + π/2，2kπ + 3π/2]，即x∈ [kπ + π/8 ， kπ + 5π/8] ， k ∈ Z 上单调递减。