（20分）在半径r＝2m、孔径d＝0.5m的凹面镜的焦点位置上，放一块圆形屏幕，使平行于轴的所有入射光线经凹面镜反射后都能达到该圆形屏幕。试求圆形屏幕的直径。

Question

（ 20 分）在半径 r ＝ 2m 、孔径 d ＝ 0.5m 的凹面镜的焦点位置上，放一块圆形屏幕，使平行于轴的所有入射光线经凹面镜反射后都能达到该圆形屏幕。试求圆形屏幕的直径。如果在上述条件下圆形屏幕的直径减少到仅由原来的 ，问有多少部分的光能达到在同样位置的屏幕上？

Answer 1

解析 ：我们只有采用较精确形式的反射定律，通过利用某些数学近似来求解本题。

　　按照教科书中通常的理论推导，半径 PO ＝ R 的凹面镜的焦点位于距离 R 的中点 F 处。我们用 h 表示凹面镜孔径之半。在 P 点的入射光线与半径的夹角为α，反射后与轴交于 F ₁ 点。 OP F ₁ 是等腰三角形。

则：

故实际焦点与理论距离的偏差为

我们把圆形屏放在点 F 处，要求出屏幕的最小半径值 x 。在直角三角形 P F F ₁ 中，应用通常的小角近似，得：

对于小角度： ，故

将 代入，得焦“斑”的半径为

将数值： h ＝ 50/2 ＝ 25cm ； R ＝ 200cm ，代入

即得： x ＝ 0.195cm ＝ 1.95mm

再看问题的第二部分。如果圆形屏的半径为 x ，则入射到凹面镜的光束半径为　　　

如果我们用半径 kx 的屏代替半径为 x 的屏，则入射光束的半径为：

入射光的量正比于 ，因此

本题情形是 ，由此得出，落在圆形屏幕上光的量将是前者的