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半径为R的球O的截面BCD把球面面积分为两部分,截面圆O1的面积为12π,2OO1=R,BC是截面圆O1的直径,D是圆O1上不同于B,C的一点,CA是球O的一条直径.(1)求证:平面ADC⊥平面ABD;(2)求三棱
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/2cf5e0fe9925bc31e9a3d6295ddf8db1ca137081.jpg)
(1)求证:平面ADC⊥平面ABD;
(2)求三棱锥A-BCD的体积最大值;
(3)当D分
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BC |
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BD |
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DC |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连OO1,则OO1⊥面BDC,△ABC中,OO1∥AB,∴AB⊥面BCD.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8718367adab44aed04be6955b01c8701a08bfb8b.jpg)
∵CD在面BCD内,∴AB⊥DC
又由题意知BD⊥DC且AB∩BD=B,∴CD⊥面ABD
∵CD⊂面ACD,
∴平面ADC⊥平面ABD;
(2)∵R=2OO1,S圆O1=12π,∴O1C=2
.
在△O1OC中,OO12+O1C2=R2,∴R=4,OO1=2
∵AB=2OO1,∴AB=4
∵AB⊥面BDC,∴要使VA-BCD取最大,则需S△BCD取最大.
S△BCD=
BD•CD≤
(BD2+CD2)=
BC2=12(当且仅当BD=CD时取“=”)
∴(S△BCD)max=12.
∴三棱锥A-BCD的体积最大值
×12×4=16;
(3)由(1)可知AB⊥面BCD.
又∵AB⊂面ABC,∴面ABC⊥面BCD,
∵面ABC∩面BCD=BC,在平面BDC中,作DE⊥BC于E,则DE⊥面ABC,
又由题设当弧BD:弧DC=1:2时,可知∠BO1D=60°,∠DO1C=120°,
∴BD=2
,CD=6.
在Rt△BDC中,由BD•CD=BC•DE,可得DE=
=
,
故D点到平面ABC的距离为
.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8718367adab44aed04be6955b01c8701a08bfb8b.jpg)
∵CD在面BCD内,∴AB⊥DC
又由题意知BD⊥DC且AB∩BD=B,∴CD⊥面ABD
∵CD⊂面ACD,
∴平面ADC⊥平面ABD;
(2)∵R=2OO1,S圆O1=12π,∴O1C=2
3 |
在△O1OC中,OO12+O1C2=R2,∴R=4,OO1=2
∵AB=2OO1,∴AB=4
∵AB⊥面BDC,∴要使VA-BCD取最大,则需S△BCD取最大.
S△BCD=
1 |
2 |
1 |
4 |
1 |
4 |
∴(S△BCD)max=12.
∴三棱锥A-BCD的体积最大值
1 |
3 |
(3)由(1)可知AB⊥面BCD.
又∵AB⊂面ABC,∴面ABC⊥面BCD,
∵面ABC∩面BCD=BC,在平面BDC中,作DE⊥BC于E,则DE⊥面ABC,
又由题设当弧BD:弧DC=1:2时,可知∠BO1D=60°,∠DO1C=120°,
∴BD=2
3 |
在Rt△BDC中,由BD•CD=BC•DE,可得DE=
BD•CD |
BC |
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2 |
故D点到平面ABC的距离为
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