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如图,已知一底面半径为r,母线长为4r的圆锥,在地面圆周上有一蚂蚁位于A点,它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点,请你给它指出一条爬行最短的路径,并求出最短路径的长
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如图,已知一底面半径为r,母线长为4r的圆锥,在地面圆周上有一蚂蚁位于A点,它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点,请你给它指出一条爬行最短的路径,并求出最短路径的长.
▼优质解答
答案和解析
把圆锥沿过点A的母线展成如图所示扇形,
则蚂蚁运动的最短路程为AA′(线段).
由此知:OA=OA′=4r,
的长即为圆锥的底面周长为2πr.
∴2πr=
,
解得:n=90°,
即∠AOA′=90°,∠OAC=45°.
∵OA=OA′,
∴OC⊥AA′,
∴AA′=
=4
r.
即蚂蚁运动的最短路程是4
r.
则蚂蚁运动的最短路程为AA′(线段).
由此知:OA=OA′=4r,
ADA′ |
∴2πr=
nπ×4r |
180 |
解得:n=90°,
即∠AOA′=90°,∠OAC=45°.
∵OA=OA′,
∴OC⊥AA′,
∴AA′=
(4r)2+(4r)2 |
2 |
即蚂蚁运动的最短路程是4
2 |
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