已知二次函数y=kx2-（2k+1）x+（k+1）（k≠0为实数）．（1）求证：不论k为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）该函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．①当△ABC的面积等

Question

已知二次函数y=kx²-（2k+1）x+（k+1）（k≠0为实数）．
（1）求证：不论k为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）该函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
①当△ABC的面积等于2时，求k的值；
②对任意负实数a＜0，当x＞m时，y随着x的增大而减小，试求出m的一个值．

Answer 1

（1）证明：∵△=（2k+1）²-4k（k+1）=1＞0，
∴不论k为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；
                       
（2）①令y=0，kx²-（2k+1）x+（k+1）=0
解得：x₁=1，x₂=1+(1)/(k)，
S_△ABC=0.5×|(1)/(k)|×|（k+1）|=2，
解得：k=1或k=-(1)/(3)；
                                                  
②∵函数y=kx²-（2k+1）x+（k+1）的图象在对称轴（直线x=(2k+1)/(2k)）的右侧，y随x的增大而减少，
根据题意，当k＜0时，x=(2k+1)/(2k)=1+(1)/(2k)＜1，
所以m≥1都有y随x的增加而减小．