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如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为(-1,0),对称轴为直线x=-2.(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;(2)点D是抛物线与y轴的交点,点C是抛物线上的另一点.已知
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如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为(-1,0),对称轴为直线x=-2.
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)点D是抛物线与y轴的交点,点C是抛物线上的另一点.已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9.求此抛物线的解析式,并指出顶点E的坐标;
(3)点P是(2)中抛物线对称轴上一动点,且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动.设点P运动的时间为t秒.
①当t为___秒时,△PAD的周长最小?当t为___秒时,△PAD是以AD为腰的等腰三角形?(结果保留根号)
②点P在运动过程中,是否存在一点P,使△PAD是以AD为斜边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)点D是抛物线与y轴的交点,点C是抛物线上的另一点.已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9.求此抛物线的解析式,并指出顶点E的坐标;
(3)点P是(2)中抛物线对称轴上一动点,且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动.设点P运动的时间为t秒.
①当t为___秒时,△PAD的周长最小?当t为___秒时,△PAD是以AD为腰的等腰三角形?(结果保留根号)
②点P在运动过程中,是否存在一点P,使△PAD是以AD为斜边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)由抛物线的轴对称性及A(-1,0),可得B(-3,0).
(2)设抛物线的对称轴交CD于点M,交AB于点N,
由题意可知AB∥CD,由抛物线的轴对称性可得CD=2DM.
∵MN∥y轴,AB∥CD,
∴四边形ODMN是平行四边形
∵∠DON=90°
∴平行四边形ODMN是矩形.
∴DM=ON=2,
∴CD=2×2=4.
∵A(-1,0),B(-3,0),
∴AB=2,
∵梯形ABCD的面积=
(AB+CD)•OD=9,
∴OD=3,即c=3.
∴把A(-1,0),B(-3,0)代入y=ax2+bx+3得
,
解得
.
∴y=x2+4x+3.
将y=x2+4x+3化为顶点式为y=(x+2)2-1,得E(-2,-1).
(3)①当t为2秒时,△PAD的周长最小;当t为4或4-
或4+
秒时,△PAD是以AD为腰的等腰三角形.
故答案为:2;4或4-
或4+
.
②存在.
设CD交抛物线对称轴于M,AB交抛物线对称轴于N,
∵∠APD=90°,∠PMD=∠PNA=90°,
∴∠DPM+∠APN=90°,∠DPM+∠PDM=90°,
∴∠PDM=∠APN,
∵∠PMD=∠ANP,
∴△APN∽△PDM,
∴
=
,
∴
=
,
∴PN2-3PN+2=0,
∴PN=1或PN=2.
∴P(-2,1)或(-2,2).
(2)设抛物线的对称轴交CD于点M,交AB于点N,
由题意可知AB∥CD,由抛物线的轴对称性可得CD=2DM.
∵MN∥y轴,AB∥CD,
∴四边形ODMN是平行四边形
∵∠DON=90°
∴平行四边形ODMN是矩形.
∴DM=ON=2,
∴CD=2×2=4.
∵A(-1,0),B(-3,0),
∴AB=2,
∵梯形ABCD的面积=
1 |
2 |
∴OD=3,即c=3.
∴把A(-1,0),B(-3,0)代入y=ax2+bx+3得
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解得
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∴y=x2+4x+3.
将y=x2+4x+3化为顶点式为y=(x+2)2-1,得E(-2,-1).
(3)①当t为2秒时,△PAD的周长最小;当t为4或4-
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故答案为:2;4或4-
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②存在.
设CD交抛物线对称轴于M,AB交抛物线对称轴于N,
∵∠APD=90°,∠PMD=∠PNA=90°,
∴∠DPM+∠APN=90°,∠DPM+∠PDM=90°,
∴∠PDM=∠APN,
∵∠PMD=∠ANP,
∴△APN∽△PDM,
∴
AN |
PM |
PN |
DM |
∴
1 |
3-PN |
PN |
2 |
∴PN2-3PN+2=0,
∴PN=1或PN=2.
∴P(-2,1)或(-2,2).
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