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我们已经知道(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)n(n为非负整数)的计算结果有什么规律呢?实际上我国宋代就有数学家进行了研究:如果将(a+b)n(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由大到小排
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我们已经知道(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)n(n为非负整数)的计算结果有什么规律呢?实际上我国宋代就有数学家进行了研究:
如果将(a+b)n(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由大到小排列,就可以得到下面的等式:
(a+b)0=1,它只有一项,系数为1;
(a+b)1=a+b,它有两项,系数分别为1,1;
(a+b)2=a2+2ab+b2,它有三项,系数分别为1,2,1;
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,它有四项,系数分别为1,3,3,1;
…
如果将上述每个式子的各项系数排成如图的表格,我们可以发现一些规律,聪明的你一定也发现了,请你根据发现的规律解答下面的问题:
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_a28d8bee0ed3e29534f19c921a8ea7e8.jpg)
(1)尝试写出(a+b)4的结果,并用整式乘法的相关知识进行验证;
(2)请直接写出(a+b)5共有___项,各项系数的和等于___;
(3)(a+b)n(n为非负整数)共有___项,各项系数的和等于___.
如果将(a+b)n(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由大到小排列,就可以得到下面的等式:
(a+b)0=1,它只有一项,系数为1;
(a+b)1=a+b,它有两项,系数分别为1,1;
(a+b)2=a2+2ab+b2,它有三项,系数分别为1,2,1;
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,它有四项,系数分别为1,3,3,1;
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如果将上述每个式子的各项系数排成如图的表格,我们可以发现一些规律,聪明的你一定也发现了,请你根据发现的规律解答下面的问题:
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(1)尝试写出(a+b)4的结果,并用整式乘法的相关知识进行验证;
(2)请直接写出(a+b)5共有___项,各项系数的和等于___;
(3)(a+b)n(n为非负整数)共有___项,各项系数的和等于___.
▼优质解答
答案和解析
(1)(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
验证:(a+b)4
=(a+b)2(a+b)2
=(a2+2ab+b2)(a2+2ab+b2)
=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(2)根据规律可得,(a+b)5共有6项,
各项系数分别为:1,5,10,10,5,1,
它们的和等于32;
故答案为:6,32;
(3)根据规律可得,(a+b)n共有(n+1)项,
∵1=20
1+1=21
1+2+1=22
1+3+3+1=23
∴(a+b)n各项系数的和等于2n
故答案为:n+1,2n
验证:(a+b)4
=(a+b)2(a+b)2
=(a2+2ab+b2)(a2+2ab+b2)
=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(2)根据规律可得,(a+b)5共有6项,
各项系数分别为:1,5,10,10,5,1,
它们的和等于32;
故答案为:6,32;
(3)根据规律可得,(a+b)n共有(n+1)项,
∵1=20
1+1=21
1+2+1=22
1+3+3+1=23
∴(a+b)n各项系数的和等于2n
故答案为:n+1,2n
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