一道数列题等比数列｛an｝的前n项和为Sn,已知对任意的n（n属于自然数）,点（n,Sn）均在函数y=b^x+r（b>0,且b不等于1,b,r均为常数）的图像上（1）求r的值（2）当b=2时,记bn=n+1/4an,求bn的前n项和

Question

一道数列题
等比数列｛an｝的前n项和为Sn,已知对任意的n（n属于自然数）,点（n,Sn）均在函数y=b^x+r（b>0,且b不等于1,b,r均为常数）的图像上
（1）求r的值
（2）当b=2时,记bn=n+1/4an,求bn的前n项和

Answer 1

(1)S(n)=b^n+r
S(n-1)=b^(n-1)+r
a(n)=S(n)-S(n-1)=(b-1)b^(n-1)
即：{a(n)}是以b-1为首项b为公比的等比数列
S(n)=(b-1)(b^n-1)/(b-1)=b^n-1
于是：r=-1
(2)b(n)=(n+1)/2^(n+1)
记B(n)=2/2^2+3/2^3+…+(n+1)/2^(n+1)
2B(n)=2/2+3/2^2++…+(n+1)/2^n
两式相减：B(n)=1+1/2^2+1/2^3+…+1/2^n-(n+1)/2^(n+1)
B(n)=3/2-1/2^n-(n+1)/2^(n+1)