求一个极限问题1/1+1/2+1/3+...+1/n1/1+1/2+1/3+...+1/n（n趋近于无穷大）无限逼近一个常数么?如果不是那么为什么0!+1/1!+1/2!+1/3!+.1/n!会无限逼近一个常数呢?

Question

求一个极限问题1/1+1/2+1/3+...+1/n
1/1+1/2+1/3+...+1/n（n趋近于无穷大）无限逼近一个常数么?如果不是 那么为什么0!+1/1!+1/2!+1/3!+.1/n!会无限逼近一个常数呢?

Answer 1

前者是调和级数,不是逼近一个常数,是发散的.
证明如下：1/2≥1/2 　　1/3＋1/4＞1/2 　　1/5＋1/6＋1/7＋1/8＞1/2 　　…… 　　1/[2^(k-1)+1]＋1/[2^(k-1)+2]＋…＋1/2^k＞[2^(k-1)](1/2^k)＝1/2 　　对于任意一个正数a,把a分成有限个1/2 　　必然能够找到k,使得 　　1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/2^k＞a 　　所以n→∞时,1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/n→∞
也可以采用反证法
假设调和级数收敛 , 则：
lim n→∞ S2n-Sn = 0
但与 S2n - Sn >n/2n=1/2 矛盾,故假设不真,即调和级数发散.
而后题是幂级数的展开形式
e^x= 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+xn/n!+Rn(x）
证明过程可以参考高等数学的泰勒级数的证明.
希望采纳