已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i-2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E、F

Question

已知常数a>0，向量 c =（0，a）， i =（1，0），经过原点O以 c +λ i 为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以 i -2λ c 为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值。若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值
∵ i =（1，0）， c =（0，a），
∴ c +λ i =（λ，a）， i -2λ c =（1，-2λa）
因此，直线OP和AP的方程分别为 和
消去参数λ，得点 的坐标满足方程
整理得 ①
因为 ，所以得：
（i）当 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ii）当 时，方程①表示椭圆，焦点 和 为合乎题意的两个定点；
（iii）当 时，方程①也表示椭圆，焦点 和 为合乎题意的两个定点。