高二计数原理例题RT,求一些经典的例题,一题中要用到多个知识点的,排列与组合,这些...还有要有解题思路,,例题越多越好,但是记得要有解题思路

Question

高二计数原理例题
RT,求一些经典的例题,一题中要用到多个知识点的,排列与组合,这些...还有 要有解题思路,,例题越多越好,但是记得要有解题思路

Answer 1

例1.求下列集合的元素个数.
　　（1）M＝{（x,y）|x,y∈N,x＋y≤6} （2）H＝{x,y}|x,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤5}
（1）分5类：（i）x＝1,y有5种取法；（ii）x＝2,y有4种取法；（iii）x＝3,y有3种取法；（iv）x＝4,y有2种取法；（v）x＝5,y只有一种取法.因此M共有5＋4＋3＋2＋1＝15个元素.
　　（2）分两步：（i）先选x,有4种可能；（ii）再选y有5种可能.由乘法原理,H共有4×5＝20个元素.
　　例2.（1）设A＝{a,b,c,d,e,f},B（x,y,z）,从A到B共有多少个不同映射?
　　（2）6个人分到3个车间,共有多少种分法?
　　（3）6个人分工栽3棵树,每人只栽1棵,共有多少种不同方案?
（1）分6步：先选a的象,有3种可能,再选b的象也是3种可能,…,选f象也有3种可能.由乘法原理知,共有36＝729种不同映射.
　　（2）把6个人构成的集合,看成上面（1）中之A,3个车间构成的集合,看成上面的B.因此所求问题转化为映射问题,如上题所述,共有729种方案.
　　（3）安排第一棵树有6种可能,即6人中任一人都可.再安排第二棵树有5种可能,最后安排第三棵树有4种可能.还剩下3人可以参加栽3棵树的任何一棵,因此有33种可能.所求总数为6×5×4×33＝3240.
　　注：（i）由此例看出有许多问题可转化为映射问题.
　　（ii）设集合A的元素为n个,集合B的元素为m个,那么A到B的映射有mn种.
　　例3.用0,1,2,3,4,5这六个数字,
　　（1）可以组成多少个数字不重复的三位数?
　　（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数?
　　（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数?
　　（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数?
　　（5）可以组成多少个大于3000,小于5421的四位数?
（1）分三步：（i）先选百位数字.由于0不能作百位数,因此有5种选法；（ii）十位数字有5种选法；（iii）个位数字有4种选法.由乘法原理知所求不同三位数共有5×5×4＝100个.
　　（2）分三步：（1）百位数字有5种选法；（ii）十位数字有6位选法；（iii）个位数字有6种选法.所求三位数共有5×6×6＝180个.
　　（3）分三步：（i）先选个位数字,有3种选法；（ii）再选百位数字,有4种选法；（iii）选十位数字也是4种选法.所求三位奇数共有3×4×4＝48个.
　　（4）分三类：（i）一位数,共有5个；（ii）两位数,共有5×5＝25个；（iii）三位数共有5×5×4＝100个.因此比1000小的自然数共有5＋25＋100＝130个.
　　（5）分4类：（i）千位数字为3,4之一时,共有2×5×4×3＝120个；（ii）千位数字为5,百位数字为0,1,2,3之一时,共有4×4×3＝48个；（iii）千位数字是5,百位数字是4,十位数字为0,1之一时,共有2×3＝6个；（iv）还有5420也是满条件的1个.故所求自然数共120＋48＋6＋1＝175个.
　　注：排数字问题是最常见的排列组合问题,要特别注意首位不能排0.
　　例4.（2003,天津） 某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有多少种（以数字作答）.
　　第一步先涂中间,有4种方法；
　　第二步涂外围：对相对区域分类,不妨先涂2号和5号区域.
　　若2号,5号同色,涂2号,5号两个区域共有3种方法,涂6号区域有2种方法,涂3号区域有2种方法,涂4号区域有1种方法,共有3×2×2×1＝12种方法.
　　若2号,5号不同色,涂2号,5号共有6种方法,涂6号区域有1种方法,涂3号区域又分成两类：若3号与5号同色,涂3号有1种方法,涂4号区域有2种方法,若3号与5号不同色,涂3号有1种方法,涂4号区域有1种方法,此时共有 6×1×（2×1＋1×1）＝18种,总的方法为12＋18＝30种.
　　【疑难解析】
　　1.分类计数原理,要注意以下三点：
　　①清楚怎样才是完成“一件事”的含意.即知道做“一件事”,或完成一个“事件”在每个题中具体所指.
　　②解决“分类”问题用加法原理.需要分类的事件不妨叫做“独立事件”,即完成事件通过途经A,就不必再通过途经B就可以单独完成,每类办法都可完成这件事.注意各类方法之间的独立性和并列性.否则,不独立会出现重复,不并列会出现遗漏.
　　③每个题中,标准不同,分类也不同.分类基本要求是,每一种方法必属于某一类（不漏）,任意不同类的两种方法是不同的方法（不重复）.
　　2.分步计数原理,要注意以下三点：
　　①清楚怎样才是完成一件事的含意,即知道完成一个事件,在每个题中需要经过哪几个步骤.
　　②“分步”用乘法原理,需要分成若干个步骤,每个步骤都完成了,才算完成一个事件,不妨称此为“相关事件”.注意各步骤之间的连续性.
　　③每个题中,标准不同,分步也不同.分步基本要求,一是完成一件事,必须且只需连续做完几步,既不漏步也不重步,二是两个步骤的方法之间是无关的,不断互相替代.
　　两个基本原理的区别在于前者每次得到的是最后结果——加法原理,后者每次得到的是中间结果——乘法原理