已知函数f（x）=12x2-alnx（a为常数且a∈R）．（1）当a=1时求函数f（x）的单调区间；（2）当x>1时，若12x2+lnx+b<23x3恒成立，求实常数b的取值范围．

Question

已知函数f（x）=(1)/(2)x²-alnx（a为常数且a∈R）．
（1）当a=1时求函数f（x）的单调区间；
（2）当x>1时，若(1)/(2)x²+lnx+b<(2)/(3)x³恒成立，求实常数b的取值范围．

Answer 1

（1）由题意得，f（x）=(1)/(2)x²-lnx，
则f（x）的定义域是（0，+∞），f′(x)=x-(1)/(x)=(x2-1)/(x)，
由f′（x）=0得x=±1，
当-1<x<1时，f′（x）<0，当x<-1或x>1时，f′（x）>0，
所以f（x）在（-1，1）上递减，在（-∞，-1），（1，+∞）上递增；
（2）由当x>1时(1)/(2)x²+lnx+b<(2)/(3)x³恒成立得，
当x>1时，b<(2)/(3)x³-(1)/(2)x²-lnx恒成立，
设g（x）=(2)/(3)x³-(1)/(2)x²-lnx，则g′（x）=2x2-x-(1)/(x)
=(2x3-x2-1)/(x)=(x3-x2+x3-1)/(x)=(x2(x-1)+(x-1)(x2+x+1))/(x)
=((x-1)(2x2+x+1))/(x)，
因为x>1，所以x-1>0，
又2x²+x+1=2(x+(1)/(4))2+(7)/(8)>0，则((x-1)(2x2+x+1))/(x)>0
所以g′（x）>0，即函数g（x）在（1，+∞）上递增，
则g（x）>g（1）=(1)/(6)，
所以b≤(1)/(6)，故b的取值范围是（-∞，(1)/(6)]．