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已知函数f(x)=12x2-alnx(a为常数且a∈R).(1)当a=1时求函数f(x)的单调区间;(2)当x>1时,若12x2+lnx+b<23x3恒成立,求实常数b的取值范围.
题目详情
已知函数f(x)=
x2-alnx(a为常数且a∈R).
(1)当a=1时求函数f(x)的单调区间;
(2)当x>1时,若
x2+lnx+b<
x3恒成立,求实常数b的取值范围.
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(1)当a=1时求函数f(x)的单调区间;
(2)当x>1时,若
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▼优质解答
答案和解析
(1)由题意得,f(x)=
x2-lnx,
则f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=x-
=
,
由f′(x)=0得x=±1,
当-1<x<1时,f′(x)<0,当x<-1或x>1时,f′(x)>0,
所以f(x)在(-1,1)上递减,在(-∞,-1),(1,+∞)上递增;
(2)由当x>1时
x2+lnx+b<
x3恒成立得,
当x>1时,b<
x3-
x2-lnx恒成立,
设g(x)=
x3-
x2-lnx,则g′(x)=2x2-x-
=
=
=
=
,
因为x>1,所以x-1>0,
又2x2+x+1=2(x+
)2+
>0,则
>0
所以g′(x)>0,即函数g(x)在(1,+∞)上递增,
则g(x)>g(1)=
,
所以b≤
,故b的取值范围是(-∞,
].
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则f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=x-
1 |
x |
x2-1 |
x |
由f′(x)=0得x=±1,
当-1<x<1时,f′(x)<0,当x<-1或x>1时,f′(x)>0,
所以f(x)在(-1,1)上递减,在(-∞,-1),(1,+∞)上递增;
(2)由当x>1时
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当x>1时,b<
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设g(x)=
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x |
=
2x3-x2-1 |
x |
x3-x2+x3-1 |
x |
x2(x-1)+(x-1)(x2+x+1) |
x |
=
(x-1)(2x2+x+1) |
x |
因为x>1,所以x-1>0,
又2x2+x+1=2(x+
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(x-1)(2x2+x+1) |
x |
所以g′(x)>0,即函数g(x)在(1,+∞)上递增,
则g(x)>g(1)=
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所以b≤
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