找一些初二几何综合题要有三小题

Question

找一些初二几何综合题
要有三小题

Answer 1

BD=CE,EM=MB,DN=NC
求证：AP=AQ




答案
连接DE为辅助线,M,N分别是中点,易证三角形DBE和CED全等,再证三角形ADC和ABE全等即可得AB=AC,可得这个大三角形是等腰三角形,M,N是PQ的三等分点,而PQ是该三角形的三等分线,即可得AP=AQ.
1.已知:三角形ABC中 ∠B=3∠C AD是角平分线 BE垂直AD,垂足E,求证BE=1/2（AC-AB）
2.已知：三角形ABC中,∠B=2∠C,BC=2AB.AD是中线,求证：三角形ABD是等边三角形
这2道题图都要自己画的
答案
延长BE交AC于G
可证明△ABE≌△AGE
所以∠ABG=∠AGB,AB=AG,BE=GE
因为∠AGB=∠GBC+∠C
所以∠ABG=∠GBC+∠C
又因为∠B=∠GBC+∠ABG=3∠C
所以∠ABG=3∠C-∠GBC
所以∠GBC+∠C=3∠C-∠GBC
所以2∠C=2∠GBC
所以∠C=∠GBC
所以BG=CG
又因为BG=BE+EG=2BE
所以BE=(1/2)BG=(1/2)CG=(1/2)(AC-AG)=(1/2)(AC-AB)
第二题：因为D是BC中点
所以BD=CD=（1/2)BC
所以BC=2BD
所以BD=AB
作∠ACE=∠BAC并且作CE=CB连接AE
则可证△CAE≌△CBA
所以BA=AE
又CA是角平分线
所以△CBE是等腰三角形
所以CA垂直于BE
又D为BC中点
所以AD=1/2CB=BD
又BD=AB
所以BD=AB=AD
所以为等边三角形