正三角形内的任意一点到三边的距离之和是一个定值．(1)用面积方法证明这个命题；(2)将这个命题类比到空间中去，并用体积法证明．

Question

正三角形内的任意一点到三边的距离之和是一个定值．

(1)用面积方法证明这个命题；

(2)将这个命题类比到空间中去，并用体积法证明．

Answer 1

答案：
解析：
　　(1)设点O是正△ABC内任意一点，它到三边距离分别为h1、h2、h3，正△ABC的高为h，则 　　S△OAB＋S△OBC＋S△OCA＝S△ABC． 　　∴AB·h． 　　∴h1＋h2＋h3＝h． 　　(2)正四面体中任意一点到各面的距离之和是一定值． 　　设O为正四面体A－BCD内任意一点，到各面的距离分别为h1、h2、h3、h4，正四面体的高为h． 　　则VO－ABC＋VO－ABD＋VO－ACD＋VO－BCD＝VA－BCD， 　　即． 　　∴h1＋h2＋h3＋h4＝h． 　　
分 析：
将三角形分割为三个三角形，并类比到空间，正三角形对应正四面体