如图1所示，有面积关系：S△PA′B′S△PAB=PA′•PB′PA•PB，则在图2可以类比得到什么结论？并加以证明．

Question

如图1所示，有面积关系：(S△PA′B′)/(S△PAB)=(PA′•PB′)/(PA•PB)，则在图2可以类比得到什么结论？并加以证明．

Answer 1

由题意知三棱锥作为三角形的类比对象，如图1、图2中，与△PAB、△PA′B′相对应的，是三棱锥P-ABC、P-A′B′C′；与△PA′B′两条边PA′、PB′相对应的，是三棱锥P-A′B′C′的三条侧棱PA′、PB′、PC′；与△PAB两条边PA、PB相对应的，是三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC．
由此，我们可以类比图1中面积关系得到图2中的体积关系为(PA′•PB′•PC′)/(PA•PB•PC)．
上述猜想的证明如下：
V_{P-A′B′C′}：V_P-ABC=V_{C′-PA′B′}：V_C-PAB=((1)/(3)×S△PA′B′×h1)/((1)/(3)×S△PAB×h2)
=(S△PA′B′)/(S△PAB)•(h1)/(h2)=(PA′•PB′•PC′)/(PA•PB•PC)．