如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与周长．

Question

如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．

（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与周长．

Answer 1

（1）∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，
∴△AEH∽△ABC；

（2）如图，设AD与EH交于点M，
∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EF=DM，
设正方形EFGH的边长为x，则DM=x，AM=30-x，
∵△AEH∽△ABC，
∴(EH)/(BC)=(AM)/(AD)，即(x)/(40)=(30-x)/(30)，
解得x=(120)/(7)，
∴正方形EFGH的边长为(120)/(7)cm，周长为(480)/(7)cm．