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求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost),0≤t≤2π.与x轴所围成图形绕y轴旋转所的旋转体的体积.
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求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost),0≤t≤2π.与x轴所围成图形绕y轴旋转所的旋转体的体积.
▼优质解答
答案和解析
首先取体积微元,在x=a(t-sint)处,x变化量为dx,形成的圆环面积为:
dS=2πxdx,
圆环所在柱面体积:dV=ydS=2πxydx
又dx=d[a(t-sint)]=a(1-cost)dt
将x,y参数方程代入得:
dV=2π[a(t-sint)][a(1-cost)][a(1-cost)dt]=2πa3(t-sint)(1-cost)2dt
∴V=
2πa3(t−sint)(1−cost)2dt
作变换u=t-π,则 t=u+π,dt=du,
原积分变为:
V=
2πa3[(u+π)−sin(u+π)]•[1−cos(u+π)]2du
=2πa3
[π+(u+sinu)](1+cosu)2du
=2π2a3
(1+cosu)2du+
(u+sinu)(1+cosu)2du
上式积分的第二部分被积函数 (u+sinu)(1+cosu)2为奇函数,因此在[-π,π]上,积分为0
∴V=2π2a3
(1+cosu)2du=2π2a3
(1+2cosu+cos2u)du
=4π2a3+4π2a3
cosudu+π2a3
(1+cos2u)du
=4π2a3−4π2a3sinu
+2π2a3−
π2a3sin2u
=6π2a3
dS=2πxdx,
圆环所在柱面体积:dV=ydS=2πxydx
又dx=d[a(t-sint)]=a(1-cost)dt
将x,y参数方程代入得:
dV=2π[a(t-sint)][a(1-cost)][a(1-cost)dt]=2πa3(t-sint)(1-cost)2dt
∴V=
∫ | 2π 0 |
作变换u=t-π,则 t=u+π,dt=du,
原积分变为:
V=
∫ | π −π |
=2πa3
∫ | π −π |
=2π2a3
∫ | π −π |
2πa3∫ | π −π |
上式积分的第二部分被积函数 (u+sinu)(1+cosu)2为奇函数,因此在[-π,π]上,积分为0
∴V=2π2a3
∫ | π −π |
∫ | π −π |
=4π2a3+4π2a3
∫ | π −π |
∫ | π −π |
=4π2a3−4π2a3sinu
| | π −π |
1 |
2 |
| | π −π |
=6π2a3
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