离散:设是一个群.如果对任意的a,b属于G都有a^3*b^3=(a*b)^3,a^4*b^4=(a*b)^4,a^5*b^5=(a*b)^5,证明是一个交换群.

Question

离散:设是一个群.如果对任意的a,b属于G都有a^3*b^3=(a*b)^3,
a^4*b^4=(a*b)^4,a^5*b^5=(a*b)^5,证明是一个交换群.

Answer 1

由 a^3 b^3 = (ab)^3 和 a^4 b^4 = (ab)^4,
(ab)^4 = a^4 b^4 = a (a^3 b^3) b = a (ab)^3 b,
写出来,消掉两头的那个a和b,就是(ba)^3=(ab)^3；
类似,可以得到(ba)^4 = (ab)^4；
两个式子一除,得到ba=ab,对任意a和b.