事件A,B,C,D,E相互独立,A+B,和C+D+E相互独立吗?是,给出证明,不是说出你的理由.如果是，给出完整的逻辑证明过程。

Question

事件A,B,C,D,E相互独立,A+B,和C+D+E相互独立吗?是,给出证明,不是说出你的理由.
如果是，给出完整的逻辑证明过程。

Answer 1

P[A(C+D+E)]=P(AC+AD+AE)=P(AC)+P(AD)+P(AE)-P(ACAD)-P(ACAE)-P(ADAE)+P(ACADAE)=P(A)P(C)+P(A)P(D)+P(A)P(E)-P(A)P(CD)-P(A)P(CE)-P(A)P(DE)+P(A)P(CDE)=P(A)[P(C)+P(D)+P(E)-P(CD)-P(CE)-P(DE)+P(CDE)]=P(A)P(C+D+E),即P[A(C+D+E)]=P(A)P(C+D+E),所以A和C+D+E相互独立；同理可得B和C+D+E也相互独立；P[AB(C+D+E)]=P(ABC+ABD+ABE)=P(ABC)+P(ABD)+P(ABE)-P(ABCD)-P(ABCE)-P(ABDE)+P(ABCDE)=P(AB)P(C)+P(AB)P(D)+P(AB)P(E)-P(AB)P(CD)-P(AB)P(CE)-P(AB)P(DE)+P(AB)P(CDE)=P(AB)[P(C)+P(D)+P(E)-P(CD)-P(CE)-P(DE)+P(CDE)]=P(AB)P(C+D+E),即P[AB(C+D+E)]=P(AB)P(C+D+E),所以AB和C+D+E相互独立；P[(A+B)(C+D+E)]=P[A(C+D+E)+B(C+D+E)]=P[A(C+D+E)]+P[B(C+D+E)]-P[AB(C+D+E)]=P(A)P(C+D+E)+P(B)P(C+D+E)-P(AB)P(C+D+E)=[P(A)+P(B)-P(AB)]P(C+D+E)=P(A+B)P(C+D+E),即P[(A+B)(C+D+E)]=P(A+B)P(C+D+E),所以A+B和C+D+E相互独立.