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两个可解正规子群的乘积仍然是可解正规子群G为群，若M和N都是G的可解正规子群，则MN也是G的可解正规子群。请问大神，如何证明这个命题？显然，两个正规子群的乘积仍然是正规子群，关
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两个可解正规子群的乘积仍然是可解正规子群
G为群，若M和N都是G的可解正规子群，则MN也是G的可解正规子群。
请问大神，如何证明这个命题？显然，两个正规子群的乘积仍然是正规子群，关键是如何证明它是可解群呢？
G为群，若M和N都是G的可解正规子群，则MN也是G的可解正规子群。
请问大神，如何证明这个命题？显然，两个正规子群的乘积仍然是正规子群，关键是如何证明它是可解群呢？
▼优质解答
答案和解析
由M在G中正规, 可知M也在MN中正规.
由群同态基本定理, MN/M同构于N/(N∩M).
而N可解, 故N/(N∩M)也可解, 进而MN/M可解.
又M可解, 故MN也可解.
其中用到: 若N是G的正规子群, 则G可解的充要条件是N和G/N均可解.
由群同态基本定理, MN/M同构于N/(N∩M).
而N可解, 故N/(N∩M)也可解, 进而MN/M可解.
又M可解, 故MN也可解.
其中用到: 若N是G的正规子群, 则G可解的充要条件是N和G/N均可解.
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