一个矩阵的问题若两个正规矩阵可交换,证明他们的乘积也为正规矩阵或者若两个正规矩阵可交换,证明他们可以通过相同的酉变换变为对角矩阵谢谢!

Question

一个矩阵的问题
若两个正规矩阵可交换,证明他们的乘积也为正规矩阵
或者若两个正规矩阵可交换,证明他们可以通过相同的酉变换变为对角矩阵
谢谢!

Answer 1

设这两个矩阵式A和B
由于A和B各自是正规阵,所以
(A^H)A=A(A^H)
(B^H)B=B(B^H)
（上标H表示共轭转置）
又由于A和B可交换,所以
AB=BA,
(A^H)B=B(A^H),
A(B^H)=(B^H)A,
(A^H)(B^H)=(B^H)(A^H)
现在考察他们的乘积,如果[(AB)^H](AB)=(AB)[(AB)^H]
那么就说明AB也是正规阵.
我们来算算：
左边=(B^H)(A^H)(A)(B)=(B^H)(A)(A^H)(B)={[(A^H)B]^H}[(A^H)B]
右边=(A)(B)(B^H)(A^H)=(A)(B^H)(B)(A^H)={[B(A^H)]^H}[B(A^H)]
由于A和B可交换,则A^H和B也可交换,所以左边=右边