二阶函数为什么有的要乘dx/dy有的不要?比如题1已知物体的运动规律为s=asinwt（a,w为常数）,求物体加速度ds/dt=asinwt*w=awsinwtd^2s/dt^2=-aw^2sinst题2重大的陨星进入大气层时,当它离地心为skm时

Question

二阶函数为什么有的要乘dx/dy有的不要?
比如
题1 已知物体的运动规律为s=asinwt（a,w为常数）,求物体加速度
ds/dt=asinwt*w=awsinwt d^2 s/dt^2 = -aw^2 sinst
题2 重大的陨星进入大气层时,当它离地心为s km时的加速度与s^(1/2)成反比,试证明陨星的加速度与s^2成反比.
v = ds/dt = k/(s^(1/2))
a = d^2 s /dt^2 = d(k/ s^(1/2))/ds * ds/dt = -1/2*k/(s^(3/2))*k/(s^(1/2))=-k^2/2s^2
下面的那题二阶导数就又乘了个ds/dt,上面就没有

Answer 1

题1 已知物体的运动规律为s=asinωt（a,w为常数）,求物体加速度
v=ds/dt=aωcosωt；a=dv/dt=-aω²sinωt.
即v=f(t)=aωcosωt,故a=dv/dt=f '(t)；这里v与t之间没有中间变量.
题2 重大的陨星进入大气层时,当它离地心为s km时的速度与√s成反比,试证明陨星的加速度
与s²成反比.
设v=k/√s=f(s),s=g(t)；这是一个复合函数.即v=f[g(t)],这与题1是不相同的：v与t之间有个中间变量s,因此当v对t求导时要用复合函数的求导方法：a=dv/dt=(dv/ds)(ds/dt).
其中dv/ds=[-k/(2√s)]/s=-k/(2s√s),ds/dt=v=k/√s.
故a=dv/dt=(dv/ds)(ds/dt)=[-k/(2s√s)](k/√s)=-k²/(2s²).