一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最多可以迈3级台阶．从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种不同的走法？

Question

一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最多可以迈3级台阶．从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种不同的走法？

Answer 1

从简单情况入手：
（1）若有1级台阶，则只有惟一的迈法：a ₁ =1；
（2）若有2级台阶，则有两种迈法：一步一级或一步二级，则a ₂ =2；
（3）若有3级台阶，则有4种迈法：①一步一级地走，②第一步迈一级而第二步迈二级，③第一步迈二级而第二步迈一级，④一级迈三级，a ₃ =4；
（4）若有4级台阶，则按照第一步迈的级数分三类讨论：①第一步迈一级台阶，那么还剩三级台阶，根据前面分析可知a ₃ =4种万法，②第一步迈二级台阶，还剩二级台阶，根据前面的分析可知有a ₂ =2种迈法，③第一步迈三级台阶，那么还剩一级台阶，还有a ₁ =1．
所以a ₄ =a ₁ +a ₂ +a ₃ =7，
类推，有a ₅ =a ₂ +a ₃ +a ₄ =2+4+7=13；
a ₆ =a ₃ +a ₄ +a ₅ =4+7+13=24；
a ₇ =a ₄ +a ₅ +a ₆ =7+13+24=44；
a ₈ =a ₅ +a ₆ +a ₇ =13+24+44=81；
a ₉ =a ₆ +a ₇ +a ₈ =24+44+81=149；
a ₁₀ =a ₇ +a ₈ +a ₉ =44+81+149=274．
a ₁₁ =a ₈ +a ₉ +a ₁₀ =81+149+274=504，
a ₁₂ =a ₉ +a ₁₀ +a ₁₁ =149+274+504=927，
所以共有927种迈法．