求解微分方程问题(第2 3题)

Question

求解微分方程问题(第2 3题)
 

Answer 1

2）
等式两边求导：
2f(x)-1=f'(x)
即解微分方程：y'-2y=-1
得特征根为r=2,
设特解为y*=a,代入得：-2a=-1,得a=1/2
所以y=Ce^(2x)+1/2
即f(x)=Ce^(2x)+1/2
当x=0时,等式左边的积分为0,右边为f(0)-1=C+1/2-1=C-1/2
所以有c-1/2=0
得c=1/2
故f(x)=(1/2)e^(2x)+1/2
3) 特征方程为r²-3r+2=0
得r=1,2
则f(x)=C1e^x+C2e^2x
y=x²-x+1,y'=2x-1,y'(0)=-1,在(0,1)处切线为y=-x+1
f'(x)=C1e^x+2C2e^2x,
故也须有：
f'(0)=C1+2C2=-1,
f(0)=C1+C2=1
解得：C1=3,C2=-2,
故f(x)=3e^x-2e^(2x)