横断面为半圆形的正柱形无盖容器,其表面积等于S,当其尺寸如何时,此容器有最大容积?请着重告知正柱形的横断面如何为半圆形,

Question

横断面为半圆形的正柱形无盖容器,其表面积等于S,当其尺寸如何时,此容器有最大容积?
请着重告知正柱形的横断面如何为半圆形,

Answer 1

楼主：
其实,“半圆形截面的正柱体”可以理解成正圆柱的沿中心轴剖开后,其中一半；这里的正柱体指侧面与底面垂直.
设底面半径为R(R＞0),其高为H(H＞0),由题意可得其直截面面积为2R•H,曲侧面面积为π•R•H,底面的面积为π•R²/2 ,半圆形的正柱形表面积等于S,即
S=π•R•H+2R•H+π•R²/2
可解得
H=(2S- πR²)/2(π+2)R
其容积
πR²/2 •H
=πR²/2 •(2S- πR²)/2(π+2)R
=πR(2S- πR²)/4(π+2) （0＜R＜√2S/π）
其导数Vˊ=(2S- 3πR²)π/4(π+2),另Vˊ=0,可解得
R1=√2S/3π R1= - √2S/3π （不符题意,舍去）
当Vˊ＞0时,可解得0＜R＜√2S/3π,在此范围函数V单调递增；
当Vˊ＜0时,可解得√2S/3π＜R＜√2S/π,在此范围函数V单调递减；
即当R=√2S/3π,函数取得最大值,此时最大的容积
V= πR(2S- πR²)/4(π+2)
= π(√2S/3π)(2S- π(√2S/3π)²)/4(π+2)
=2S(√2Sπ/3 -π /3)/4(π+2)
注：√表示根号,止于加减、括号符号.