设F1和F2是双曲线x2/a2-y2/b2=1的两焦点,P为双曲线上的动点,过F1做角F1PF2平分线的垂线,垂足为M求M的轨迹 其中a大于b大于0 x2+y2=a2为什么P在右支上啊 本人愚昧

Question

设F1和F2是双曲线x2/a2-y2/b2=1的两焦点,P为双曲线上的动点,过F1做角F1PF2平分线的垂线,垂足为M
求M的轨迹 其中a大于b大于0 x2+y2=a2
为什么P在右支上啊 本人愚昧

Answer 1

【解】 PM平分∠F1PF2,F1M⊥PM于M,
不妨设P在双曲线右支,延长F1M,PF2交于Q,由平几知识△PF1Q必为等腰三角形,|PF1|=|PQ|.
∵P在双曲线右支,∴|PF1|－|PF2|=2a.
已证|PF1|=|PQ|,∴|PQ|－|PF2|=2|a|,即是|QF2|=2|a|.连接OM,OM是△F1F2Q的中位线,
∴|OM|= |F2Q|,即|OM|=|a|
当P在双曲线左支时,同理可证|OM|=|a|
设动点M（x,y）,则M的方程为：x2+y2=a2,这是以原点为圆心,|a|为半径的圆,由于P不能落在x轴上
（否则三角形不存在）.故所求轨迹为：x2+y2=a2 (y≠0)