观察按下列规则排列的一列数1/2,1/3,2/3,1/4,2/4,3/4,1/5,2/5,3/5,4/5,……（1）求这列数的第2006项（2）求前2006项的和

Question

观察按下列规则排列的一列数1/2,1/3,2/3,1/4,2/4,3/4,1/5,2/5,3/5,4/5,……
（1）求这列数的第2006项
（2）求前2006项的和

Answer 1

一、
（1）我们先确定分母
认真观察我们会发现分母是从2开始,2出现1次,3出现2次,4出现3次,那么以此类推n出现
（n-1）次,我们应该知道一个最简单数列和,即S=1+2+3+4.+n的前n项和的公式是
S=(n+1)n/2,容易解出当n=62时,S=1953,当n=63时,S=2016.所以分母是第63个数字.
容易发现,第一个分母是2,第二个分母是3,以此类推,第63个分母就是64
（2）确定分子
我们举例就可以类比,我们设分子为b
例如,题目中的第八项,假设以求出分母为5,当n=3,S=6；也就是说从第7项开始连续4项分母为5,而第七项分子为1,那么第8项的分母就为2,所以第8项就是2/5
我们可以总结出b=2006-1953=53
综上所述：第2006项是53/64
二、
我们把这个数列前2016项进行分拆,组成一个新的数列
（1/2） （1/3+2/3） （1/4+2/4+3/4） .（1/64+2/64+3/64..+63/64）
这个数列共有63项,他们分别为1/2,2/2,3/2..63/2通项公式为m=n/2
容易求出这63项之和,也就是原数列的2016项之和,s=（1/2+63/2）*63/2=1008
而我们要求的不是前2016项之和,而是2006项之和,所以将s减去后面10项之和就可以了
S=s-（54+55+56+57+.+63）/64=（1008-10）+（10-54/64-55/64-.-63/64）
=998+（1+2+3+4+5+..+10）/64=998+55/64
由于电脑输入不像黑板解答,所以不妥之处望海涵,希望对你有所帮助.